यदि $P(n): 2^{n} < n!$ है,तो वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$ क्या है जिसके लिए $P(n)$ सत्य है?

मान लीजिए $P(n)$ एक कथन है और सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $P(n) \implies P(n + 1)$ है,तो $P(n)$ सत्य है:

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \dots \left(1+\frac{2n+1}{n^{2}}\right)=(n+1)^{2}$

दिया गया है ${U_{n + 1}} = 3{U_n} - 2{U_{n - 1}}$ और ${U_0} = 2$,${U_1} = 3$,तो सभी $n \in N$ के लिए ${U_n}$ का मान है

कथन $P(n): 1 \times 1! + 2 \times 2! + 3 \times 3! + \dots + n \times n! = (n + 1)! - 1$ है

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$a+(a+d)+(a+2d)+\ldots+(a+(n-1)d) = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$