दिया गया है {U_{n + 1}} = 3{U_n} - 2{U_{n - 1 | vedclass

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Question

(A) चरण $I$: दिया गया संबंध ${U_{n + 1}} = 3{U_n} - 2{U_{n - 1}}$ है,जहाँ ${U_0} = 2$ और ${U_1} = 3$ है।$n = 1$ के लिए,${U_2} = 3{U_1} - 2{U_0} = 3(3)

Vedclass · Accepted Answer

${2^n} + 1$

Vedclass · Answer

(A) चरण $I$: दिया गया संबंध ${U_{n + 1}} = 3{U_n} - 2{U_{n - 1}}$ है,जहाँ ${U_0} = 2$ और ${U_1} = 3$ है।$n = 1$ के लिए,${U_2} = 3{U_1} - 2{U_0} = 3(3) - 2(2) = 5$ प्राप्त होता है।विकल्प $(A)$ ${U_n} = {2^n} + 1$ की जाँच करने पर:$n = 0$ के लिए,${U_0} = {2^0} + 1 = 2$ (सत्य)।$n = 1$ के लिए,${U_1} = {2^1} + 1 = 3$ (सत्य)।$n = 2$ के लिए,${U_2} = {2^2} + 1 = 5$ (सत्य)।चरण $II$: मान लीजिए कि ${U_k} = {2^k} + 1$ और ${U_{k - 1}} = {2^{k - 1}} + 1$ सत्य है।चरण $III$: $n = k$ के लिए संबंध का उपयोग करने पर:${U_{k + 1}} = 3({2^k} + 1) - 2({2^{k - 1}} + 1) = 3 \cdot {2^k} + 3 - {2^k} - 2 = 2 \cdot {2^k} + 1 = {2^{k + 1}} + 1$।अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,सभी $n \in N \cup \{0\}$ के लिए ${U_n} = {2^n} + 1$ सत्य है।

दिया गया है ${U_{n + 1}} = 3{U_n} - 2{U_{n - 1}}$ और ${U_0} = 2$,${U_1} = 3$,तो सभी $n \in N$ के लिए ${U_n}$ का मान है

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मान लीजिए $P(n): 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{6(n-1)(n-2) \ldots(n-2020)+2n^3+3n^2+n}{6}$,सभी $n \in N$ के लिए। तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

मान लीजिए $S(k) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = 3 + k^2$. तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित सिद्ध कीजिए:
$3 \times 6 + 6 \times 9 + 9 \times 12 + \ldots + (3n)(3n + 3) = 3n(n + 1)(n + 2)$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके दर्शाइए कि सभी $n \in N$ के लिए $\frac{n^{5}}{5}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{7n}{15}$ एक प्राकृतिक संख्या है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
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