સાબિત કરો કે $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} > \frac{n^{3}}{3}$ દરેક $n \in N$ માટે.

ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન છે: $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} > \frac{n^{3}}{3}$.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$1^{2} = 1$ અને $\frac{1^{3}}{3} = \frac{1}{3}$. $1 > \frac{1}{3}$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે $P(k)$ કોઈ $k \in N$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $1^{2} + 2^{2} + \ldots + k^{2} > \frac{k^{3}}{3}$ $(1)$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $1^{2} + 2^{2} + \ldots + k^{2} + (k+1)^{2} > \frac{(k+1)^{3}}{3}$.
ડાબી બાજુથી શરૂ કરતા:
$1^{2} + 2^{2} + \ldots + k^{2} + (k+1)^{2} > \frac{k^{3}}{3} + (k+1)^{2}$ ($(1)$ નો ઉપયોગ કરતા)
$= \frac{k^{3} + 3(k^{2} + 2k + 1)}{3} = \frac{k^{3} + 3k^{2} + 6k + 3}{3}$
$= \frac{(k^{3} + 3k^{2} + 3k + 1) + 3k + 2}{3} = \frac{(k+1)^{3} + 3k + 2}{3}$
$k \in N$ માટે $3k + 2 > 0$ હોવાથી,$\frac{(k+1)^{3} + 3k + 2}{3} > \frac{(k+1)^{3}}{3}$.
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ દરેક $n \in N$ માટે સત્ય છે.