a in mathbb{Z} के किन मानों के लिए,द्विघात व् | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $(x+a)(x+1991)+1 = (x+b)(x+c)$.बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2 + (a+1991)x + 1991a + 1 = x^2 + (b+c)x + bc$.गुणांकों की तुलना करने

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$1989, 1993$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $(x+a)(x+1991)+1 = (x+b)(x+c)$.बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2 + (a+1991)x + 1991a + 1 = x^2 + (b+c)x + bc$.गुणांकों की तुलना करने पर,$b+c = a+1991$ और $bc = 1991a+1$ प्राप्त होता है।चूँकि $b$ और $c$ द्विघात समीकरण $x^2 - (b+c)x + bc = 0$ के मूल हैं,इसलिए विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए,मान लीजिए $m^2$.$D = (b+c)^2 - 4bc = (a+1991)^2 - 4(1991a+1) = m^2$.$(a-1991)^2 - 4 = m^2$.$(a-1991)^2 - m^2 = 4$.$(a-1991-m)(a-1991+m) = 4$.मान लीजिए $X = a-1991-m$ और $Y = a-1991+m$. तब $XY = 4$.चूँकि $Y-X = 2m$,$X$ और $Y$ की समता समान होनी चाहिए। चूँकि उनका गुणनफल $4$ (सम) है,दोनों सम संख्याएँ होनी चाहिए।संभावित जोड़े $(X, Y)$ $(2, 2)$ और $(-2, -2)$ हैं।स्थिति $1$: $a-1991 = 2 \Rightarrow a = 1993$.स्थिति $2$: $a-1991 = -2 \Rightarrow a = 1989$.अतः,$a \in \{1989, 1993\}$.

$a \in \mathbb{Z}$ के किन मानों के लिए,द्विघात व्यंजक $(x+a)(x+1991)+1$ का गुणनखंड $(x+b)(x+c)$ के रूप में किया जा सकता है,जहाँ $b, c \in \mathbb{Z}$ है?

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