$a$ અને $b$ ની કઈ કિંમતો માટે બહુપદી $q(x) = x^{3} + 2x^{2} + a$ ના શૂન્યો એ બહુપદી $p(x) = x^{5} - x^{4} - 4x^{3} + 3x^{2} + 3x + b$ ના પણ શૂન્યો થાય? $p(x)$ ના કયા શૂન્યો $q(x)$ ના શૂન્યો નથી?

(A) આપેલ છે કે $q(x) = x^{3} + 2x^{2} + a$ ના શૂન્યો એ $p(x) = x^{5} - x^{4} - 4x^{3} + 3x^{2} + 3x + b$ ના પણ શૂન્યો છે,જેનો અર્થ છે કે $q(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$p(x)$ ને $q(x)$ વડે ભાગતા:
$x^{5} - x^{4} - 4x^{3} + 3x^{2} + 3x + b$ ને $x^{3} + 2x^{2} + a$ વડે ભાગતા ભાગફળ $x^{2} - 3x + 2$ મળે છે અને શેષ $-(1+a)x^{2} + (3+3a)x + (b-2a)$ મળે છે.
$q(x)$ એ અવયવ હોવાથી,શેષ શૂન્ય હોવી જોઈએ,તેથી સહગુણકો શૂન્ય થવા જોઈએ:
$-(1+a) = 0 \Rightarrow a = -1$
$3+3a = 0 \Rightarrow 3+3(-1) = 0$ (સુસંગત)
$b-2a = 0 \Rightarrow b = 2(-1) = -2$.
આમ,$a = -1$ અને $b = -2$.
આ કિંમતો મૂકતા,$p(x) = (x^{3} + 2x^{2} - 1)(x^{2} - 3x + 2)$.
ભાગફળના અવયવ પાડતા: $x^{2} - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.
$p(x)$ ના શૂન્યો એ $q(x)$ ના શૂન્યો અને ભાગફળના શૂન્યોનો સમૂહ છે,જે $x=1$ અને $x=2$ છે. તેથી,$p(x)$ ના શૂન્યો જે $q(x)$ ના શૂન્યો નથી તે $1$ અને $2$ છે.