$x$-अक्ष को मूलबिंदु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना $C$ मूलबिंदु पर $x$-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल को दर्शाता है। माना $(0, a)$ कुल के किसी भी सदस्य के केंद्र के निर्देशांक हैं।
अतः,कुल $C$ का समीकरण है
$x^{2} + (y - a)^{2} = a^{2} \text{ या } x^{2} + y^{2} = 2ay$ ..........$(1)$
जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है। समीकरण $(1)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a \frac{dy}{dx}$
या $x + y \frac{dy}{dx} = a \frac{dy}{dx} \text{ या } a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}}$ ..........$(2)$
समीकरण $(2)$ से $a$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है
$x^{2} + y^{2} = 2y \left[ \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} \right]$
या $\frac{dy}{dx}(x^{2} + y^{2}) = 2xy + 2y^{2} \frac{dy}{dx}$
या $\frac{dy}{dx}(x^{2} + y^{2} - 2y^{2}) = 2xy$
या $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^{2} - y^{2}}$
यह वृत्तों के दिए गए कुल का अभीष्ट अवकल समीकरण है।