$M$ દળ ધરાવતા ચાર સમાન કણો $a$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણાઓ પર સ્થિત છે. જો તે દરેક એકબીજાના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની અસર હેઠળ ચોરસને પરિબદ્ધ કરતા વર્તુળાકાર માર્ગમાં ભ્રમણ કરતા હોય,તો તેમની ઝડપ કેટલી હોવી જોઈએ?

જો પૃથ્વીમાં કોઈપણ દિશામાં ટનલ બનાવવામાં આવે,તો એક છેડેથી મુક્ત કરેલો દડો બીજા છેડે પહોંચતા કેટલો સમય લેશે ........ $\text{min}$ (પૃથ્વીનું પરિભ્રમણ અવગણો).

$Assertion$: અવકાશ રોકેટ સામાન્ય રીતે વિષુવવૃત્તીય રેખા પર પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશામાં છોડવામાં આવે છે.
$Reason$: ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ વિષુવવૃત્ત પર ન્યૂનતમ હોય છે.

$(a)$ પૃથ્વીને $6400 \, km$ ત્રિજ્યાનો ગોળો ગણી શકાય. પૃથ્વીના પરિભ્રમણ (સમયગાળો $1 \, \text{દિવસ}$) ને કારણે કોઈપણ પદાર્થ (અથવા વ્યક્તિ) પૃથ્વીની ધરીની આસપાસ વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. પૃથ્વીની સપાટી પર (વિષુવવૃત્ત પર) પદાર્થનો તેના કેન્દ્ર તરફનો પ્રવેગ કેટલો છે? અક્ષાંશ $\theta$ પર તે કેટલો હશે? આ પ્રવેગની સરખામણી $g = 9.8 \, m/s^2$ સાથે કેવી રીતે કરી શકાય?
$(b)$ પૃથ્વી પણ સૂર્યની આસપાસ દર વર્ષે $1.5 \times 10^{11} \, m$ ની કક્ષીય ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે. સૂર્યના કેન્દ્ર તરફ પૃથ્વીનો (અથવા પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈપણ પદાર્થનો) પ્રવેગ કેટલો છે? આ પ્રવેગની સરખામણી $g = 9.8 \, m/s^2$ સાથે કેવી રીતે કરી શકાય?

ધારો કે $\omega$ એ પૃથ્વીની તેની ધરી પરની પરિભ્રમણની કોણીય ઝડપ છે. ધારો કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ વિષુવવૃત્ત અને ધ્રુવો પર સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે. વિષુવવૃત્ત પર વજન કરવામાં આવેલ પદાર્થનું અવલોકન,ધ્રુવ પર પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ લેવામાં આવેલા અવલોકન જેટલું જ મળે છે $(d << R)$. $d$ નું મૂલ્ય શોધો.

પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે ઉપગ્રહને આપવી પડતી $K.E.$ અને ઉપગ્રહ પૃથ્વીના વાતાવરણની બરાબર ઉપર વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે તે માટે આપવી પડતી $K.E.$ નો ગુણોત્તર કેટલો છે?