ચડતા ક્રમમાં રહેલી ચાર સંખ્યાઓ $A.P.$ બનાવે છે. આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $32$ છે અને અંતિમ પદોનો ગુણાકાર અને મધ્યમ પદોના ગુણાકારનો ગુણોત્તર $7:15$ છે. તે સંખ્યાઓ શોધો.

(2, 6, 10, 14) ધારો કે $A.P.$ માં ચાર સંખ્યાઓ $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $32$ છે:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 32$
$4a = 32 \implies a = 8$.
તેથી સંખ્યાઓ $(8-3d), (8-d), (8+d), (8+3d)$ છે.
અંતિમ પદોનો ગુણાકાર $(8-3d)(8+3d) = 64 - 9d^2$ છે.
મધ્યમ પદોનો ગુણાકાર $(8-d)(8+d) = 64 - d^2$ છે.
અંતિમ પદોના ગુણાકાર અને મધ્યમ પદોના ગુણાકારનો ગુણોત્તર $7:15$ છે:
$\frac{64-9d^2}{64-d^2} = \frac{7}{15}$
$15(64-9d^2) = 7(64-d^2)$
$960 - 135d^2 = 448 - 7d^2$
$512 = 128d^2$
$d^2 = 4 \implies d = 2$ (કારણ કે સંખ્યાઓ ચડતા ક્રમમાં છે,તેથી $d > 0$).
$a=8$ અને $d=2$ મૂકતા:
$8-3(2) = 2$
$8-2 = 6$
$8+2 = 10$
$8+3(2) = 14$
તેથી સંખ્યાઓ $2, 6, 10, 14$ છે.