એક સમબાજુ ત્રિકોણના અંદરના ભાગમાં આવેલા એક બિંદુમાંથી ત્રણેય બાજુઓ પર લંબ દોરવામાં આવ્યા છે. આ લંબની લંબાઈ $14 \, cm$,$10 \, cm$ અને $6 \, cm$ છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

(D) ધારો કે $ABC$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે જેની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. ધારો કે $O$ એક અંદરનું બિંદુ છે,અને $O$ માંથી બાજુઓ $AB$,$BC$ અને $AC$ પર દોરેલા લંબ અનુક્રમે $h_1 = 14 \, cm$,$h_2 = 10 \, cm$ અને $h_3 = 6 \, cm$ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\Delta OAB$,$\Delta OBC$ અને $\Delta OAC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times 14 = 7a \, cm^2$.
$\Delta OBC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times 10 = 5a \, cm^2$.
$\Delta OAC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times 6 = 3a \, cm^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 7a + 5a + 3a = 15a \, cm^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
બંને ક્ષેત્રફળના સૂત્રોને સરખાવતા:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 15a$
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a = 15$
$a = \frac{15 \times 4}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \, cm$.
હવે,$a = 20\sqrt{3}$ ને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= 15 \times (20\sqrt{3}) = 300\sqrt{3} \, cm^2$.
આમ,સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $300\sqrt{3} \, cm^2$ છે.