મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(x_1)$ જ્યાં $a < x_1 < b$. જો $f(x) = \frac{1}{x}$ હોય,તો $x_1 = $

વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ એ $[1, 3]$ અંતરાલમાં રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે. $a$ અને $b$ ની કિંમતો શોધો.

જો $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6, x \in [1, 3]$ એ રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે અને $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ થાય,તો $a$ અને $b$ શોધો.

જો $f(x) = x^{3}$ અને $g(x) = x^{3} - 4x$ અંતરાલ $[-2, 2]$ માં હોય,તો નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(a)$ $f(x)$ અને $g(x)$ મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) નું પાલન કરે છે.
$(b)$ $f(x)$ અને $g(x)$ બંને રોલના પ્રમેય (Rolle's Theorem) નું પાલન કરે છે.
$(c)$ માત્ર $g(x)$ રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
આમાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?

વિધેય $f(x) = \log_{e} x$ માટે અંતરાલ $[1, 3]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) લાગુ પડે તે માટે $c$ ની કિંમત શોધો:

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $I$: જો $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\ldots+\frac{a_n}{n+1}=0$, જ્યાં $a_0, a_1, \ldots, a_n$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તો બહુપદી $P(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ ને અંતરાલ $(0,1)$ માં એક શૂન્ય છે.
વિધાન $II$: જો $f:[a, b] \rightarrow R$ એ $[a, b]$ પર સતત હોય અને $f$ એ $(a, b)$ માં વિકલનીય હોય, જ્યાં $a>0$ અને જો $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$ હોય, તો એવો $c \in(a, b)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $c f^{\prime}(c)=f(c)$ થાય.
નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?