बिंदु (-1, 2) से परवलय y^2 = 4x पर स्पर्श रेख | vedclass

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Question

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,जहाँ $a = 1$,बिंदु $(x_1, y_1) = (-1, 2)$ से स्पर्श जीवा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।मान रखने पर,हमें $2y = 2(x - 1

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$8\sqrt{2}$

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(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,जहाँ $a = 1$,बिंदु $(x_1, y_1) = (-1, 2)$ से स्पर्श जीवा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।मान रखने पर,हमें $2y = 2(x - 1)$ प्राप्त होता है,जो $y = x - 1$ या $x - y - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।स्पर्श बिंदु $P$ और $Q$ ज्ञात करने के लिए,$x = y + 1$ को $y^2 = 4x$ में रखने पर:$y^2 = 4(y + 1) \implies y^2 - 4y - 4 = 0$.हल $y = 2 \pm 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।अतः,बिंदु $P(3 + 2\sqrt{2}, 2 + 2\sqrt{2})$ और $Q(3 - 2\sqrt{2}, 2 - 2\sqrt{2})$ हैं।स्पर्श जीवा की लंबाई $PQ = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = 8$.बिंदु $(-1, 2)$ से रेखा $x - y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी $p = \frac{|-1 - 2 - 1|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} 	imes PQ 	imes p = \frac{1}{2} 	imes 8 	imes 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ है।

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यदि परवलय की नाभि मूलबिंदु $(0, 0)$ पर है और रेखा $x = 2$ इसकी नियता (directrix) है,तो परवलय का शीर्ष क्या है?

परवलयों $y = x^{2}$ और $y = -(x - 2)^{2}$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण है:

परवलय $y^2 = 4x$ के शीर्ष से खींची गई जीवा के मध्यबिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

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