વિધેય $f(x) = \sin x + \tan x + \operatorname{sgn}(x^2 - 6x + 10)$ એ (જ્યાં $\operatorname{sgn}$ એ સાઇનમ વિધેય છે):

આપેલ ફકરામાં આપેલી માહિતીના આધારે યાદીઓને યોગ્ય રીતે જોડીને નીચેનાનો જવાબ આપો.
ધારો કે $f(x) = \sin(\pi \cos x)$ અને $g(x) = \cos(2\pi \sin x)$ એ $x > 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત બે વિધેયો છે. નીચેના ગણોને વ્યાખ્યાયિત કરો જેના ઘટકો વધતા ક્રમમાં લખાયેલ છે:
$X = \{x : f(x) = 0\}, Y = \{x : f'(x) = 0\}$
$Z = \{x : g(x) = 0\}, W = \{x : g'(x) = 0\}$
$List-I$ માં ગણો $X, Y, Z$ અને $W$ છે. $List-II$ માં આ ગણો સંબંધિત કેટલીક માહિતી છે.

$List-I$	$List-II$
$(I) X$	$(P) \supseteq \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, 4\pi, 7\pi\}$
$(II) Y$	$(Q) \text{ સમાંતર શ્રેણી}$
$(III) Z$	$(R) \text{ સમાંતર શ્રેણી નથી}$
$(IV) W$	$(S) \supseteq \{\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}\}$
	$(T) \supseteq \{\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi\}$
	$(U) \supseteq \{\frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4}\}$

$(1)$ નીચેનામાંથી કયું એકમાત્ર $CORRECT$ સંયોજન છે?
$(1) (II), (R), (S)$ $(2) (I), (P), (R)$ $(3) (II), (Q), (T)$ $(4) (I), (Q), (U)$
$(2)$ નીચેનામાંથી કયું એકમાત્ર $CORRECT$ સંયોજન છે?
$(1) (IV), (Q), (T)$ $(2) (IV), (P), (R), (S)$ $(3) (III), (R), (U)$ $(4) (III), (P), (Q), (U)$

વિધેય $f(x) = x^3 - 8x^2 + 20x - 13$ ધ્યાનમાં લો. $x$ ના એવા કેટલા ધન પૂર્ણાંકો છે જેના માટે $f(x)$ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય?

ધારો કે $f:[-2, 2] \to R$ એ $f(x) = \begin{cases} -1 & \text{for } -2 \le x \le 0 \\ x - 1 & \text{for } 0 < x \le 2 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તો ગણ $\{ x \in (-2, 2) : x \le 0 \text{ અને } f(|x|) = x \}$ શોધો.

વિધેય $f: R \to R$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $f(x + a) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f^2(x)}$,અને $a$ એ વાસ્તવિક અચળાંક છે. તો $f(x)$ કેવું વિધેય હોવું જોઈએ?

ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ અને $X$ એ $S$ થી $S$ પરના તમામ સંબંધો $R$ નો ગણ છે જે નીચેની બંને શરતોનું પાલન કરે છે:
$i$. $R$ માં બરાબર $6$ ઘટકો છે.
$ii$. દરેક $(a, b) \in R$ માટે,$|a-b| \geq 2$ છે.
ધારો કે $Y = \{R \in X : R \text{ નો વિસ્તાર બરાબર એક ઘટક ધરાવે છે}\}$ અને $Z = \{R \in X : R \text{ એ } S \text{ થી } S \text{ પરનું વિધેય છે}\}$.
ધારો કે $n(A)$ એ ગણ $A$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
$(1)$ જો $n(X) = {}^{m}C_{6}$ હોય,તો $m$ ની કિંમત . . . . છે.
$(2)$ જો $n(Y) + n(Z)$ ની કિંમત $k^{2}$ હોય,તો $|k|$ ની કિંમત . . . . છે.