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Question

(C) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ और दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।$x > 0$ के लिए,$[x] = 0$,इसलि

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$k = 2$ के लिए,$f(x)$ में $x = 0$ पर गैर-हटाने योग्य असंततता है

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(C) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ और दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।$x > 0$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $	ext{sgn}[x] = 0$. अतः,$f(x) = \frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos x}$.$RHL = \mathop {\lim }\limits_{h 	o 0^+} \frac{\ln(1+h^2)}{1-\cos h} = \mathop {\lim }\limits_{h 	o 0^+} \frac{\ln(1+h^2)}{h^2} \cdot \frac{h^2}{1-\cos h} = 1 \cdot 2 = 2$.$x $LHL = \mathop {\lim }\limits_{h 	o 0^+} \frac{\ln(h^2)}{1-\cos(h)} = \mathop {\lim }\limits_{h 	o 0^+} \frac{\ln(h^2)}{h^2/2} = -\infty$.चूँकि $LHL$ का अस्तित्व नहीं है ($-\infty$ है),इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।अतः,$k$ के किसी भी मान के लिए $f(x)$ में $x = 0$ पर गैर-हटाने योग्य असंततता है।

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यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है और $f(x) = \begin{cases} 2[x] - \frac{x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ एक वास्तविक मान वाला फलन है, तो $f$ है

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{a \sin x - b x + c x^2 + x^3}{2 \log(1+x) - 2x + x^2 - \frac{2}{3}x^3} &, x \neq 0 \\ 0 &, x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $a, b, c$ के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x)$ जो $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,$x = 0$ पर सतत है,तो $k = . . . . . .$

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