આપેલ છે કે $n$ અવલોકનો $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ નો મધ્યક $\bar{x}$ અને વિચરણ $\sigma^{2}$ છે. સાબિત કરો કે અવલોકનો $a x_{1}, a x_{2}, \ldots, a x_{n}$ નો મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $a \bar{x}$ અને $a^{2} \sigma^{2}$ છે,જ્યાં $a \neq 0$.

આપેલ $n$ અવલોકનો $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ છે.
મધ્યક $= \bar{x}$.
વિચરણ $= \sigma^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$.
ધારો કે નવા અવલોકનો $y_{i} = a x_{i}$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, \ldots, n$.
નવો મધ્યક $\bar{y}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (a x_{i}) = a \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \right) = a \bar{x}$.
નવું વિચરણ $\sigma_{y}^{2}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\sigma_{y}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (a x_{i} - a \bar{x})^{2}$.
$\sigma_{y}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a^{2} (x_{i} - \bar{x})^{2} = a^{2} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \right)$.
કારણ કે $\sigma^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$,તેથી $\sigma_{y}^{2} = a^{2} \sigma^{2}$.
આમ,મધ્યક $a \bar{x}$ અને વિચરણ $a^{2} \sigma^{2}$ છે.