दिया गया है कि $n$ प्रेक्षणों $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ का माध्य $\bar{x}$ और प्रसरण $\sigma^{2}$ है। सिद्ध कीजिए कि प्रेक्षणों $a x_{1}, a x_{2}, \ldots, a x_{n}$ का माध्य और प्रसरण क्रमशः $a \bar{x}$ और $a^{2} \sigma^{2}$ हैं,जहाँ $a \neq 0$ है।

दिए गए $n$ प्रेक्षण $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ हैं।
माध्य $= \bar{x}$.
प्रसरण $= \sigma^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$.
माना नए प्रेक्षण $y_{i} = a x_{i}$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, \ldots, n$.
नया माध्य $\bar{y}$ इस प्रकार है:
$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (a x_{i}) = a \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \right) = a \bar{x}$.
नया प्रसरण $\sigma_{y}^{2}$ इस प्रकार है:
$\sigma_{y}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (a x_{i} - a \bar{x})^{2}$.
$\sigma_{y}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a^{2} (x_{i} - \bar{x})^{2} = a^{2} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \right)$.
चूँकि $\sigma^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$,इसलिए $\sigma_{y}^{2} = a^{2} \sigma^{2}$.
अतः,माध्य $a \bar{x}$ है और प्रसरण $a^{2} \sigma^{2}$ है।