दिया गया है कि समीकरण z^2 + (p + iq)z + r + i | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $z^2 + (p + iq)z + r + is = 0$ ... $(i)$माना $z = \alpha$ (जहाँ $\alpha$ वास्तविक है) समीकरण $(i)$ का एक मूल है।तब,$\alpha^2 + (p

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$pqs = s^2 + q^2r$

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(D) दिया गया समीकरण $z^2 + (p + iq)z + r + is = 0$ ... $(i)$माना $z = \alpha$ (जहाँ $\alpha$ वास्तविक है) समीकरण $(i)$ का एक मूल है।तब,$\alpha^2 + (p + iq)\alpha + r + is = 0$.इसे $(\alpha^2 + p\alpha + r) + i(q\alpha + s) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:$1) \alpha^2 + p\alpha + r = 0$$2) q\alpha + s = 0$$(2)$ से,$\alpha = -\frac{s}{q}$ प्राप्त होता है।इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\left(-\frac{s}{q}\right)^2 + p\left(-\frac{s}{q}\right) + r = 0$.$\frac{s^2}{q^2} - \frac{ps}{q} + r = 0$.$q^2$ से गुणा करने पर,$s^2 - pqs + q^2r = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$pqs = s^2 + q^2r$.

दिया गया है कि समीकरण $z^2 + (p + iq)z + r + is = 0$,जहाँ $p, q, r, s$ वास्तविक और शून्येतर हैं,का एक वास्तविक मूल है,तो:

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$1 + i\alpha$ रूप की सभी सम्मिश्र संख्याओं $z$ के लिए,जहाँ $\alpha \in R$,यदि $z^2 = x + iy$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सत्य है?

मान लीजिए कि $z$ अधिकतम मापांक वाली एक सम्मिश्र संख्या है (जो $X$-अक्ष पर स्थित नहीं है) ताकि $\left| z + \frac{1}{z} \right| = 1$ हो। तो:

यदि $z=x+iy$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $\bar{z}^{\frac{1}{3}}=a+ib$,तो $\frac{1}{a^2+b^2}\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)$ का मान क्या होगा?

यदि $\left(\frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta}\right)^{2020}+\left(\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta+i \sin \theta}\right)^{2021} = x+i y$ है,तो $\theta=\frac{\pi}{2}$ पर $x+y$ का मान ज्ञात कीजिए।

$z = \frac{3 + 2i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}, \quad (i = \sqrt{-1})$ शुद्ध काल्पनिक होगा यदि $\theta =$

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