$1, 2, 3, 4$ और $5$ अंकों का उपयोग करके कितनी $3$-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो?

यदि शब्द $MOTHER$ के अक्षरों को व्यवस्थित किया जाए और इस प्रकार बने सभी शब्दों को (अर्थ के साथ या बिना) शब्दकोश के अनुसार सूचीबद्ध किया जाए,तो शब्द $MOTHER$ का स्थान क्या होगा?

शिक्षक $5$ छात्रों को मंच पर इस प्रकार व्यवस्थित करना चाहते हैं कि लड़का $B_1$ दूसरे स्थान पर हो और लड़कियाँ $G_1$ और $G_2$ हमेशा एक-दूसरे के बगल में हों,तो ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या क्या है?

$n (> 1)$ विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में $r$ से अधिक न लेने पर बनने वाले कुल क्रमचयों (permutations) की संख्या क्या होगी,यदि प्रत्येक वस्तु को कितनी भी बार दोहराया जा सकता है?

$n = 1, 2, 3, . . . , 50$ के लिए,मान लीजिए $A = \{ a_n \mid a_n = \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}} (\frac{n}{2}), & \text{यदि } n \text{ सम है} \\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} (\frac{n-1}{2}), & \text{यदि } n \text{ विषम है} \end{cases} \}$ और $B$,$A$ के सभी भिन्न अवयवों का समुच्चय है। समुच्चय $B$ के सभी अवयवों के उन क्रमचयों की संख्या जिनमें सम पूर्णांक बढ़ते क्रम में हों,है:

$ARRANGE$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने भिन्न शब्द बनाए जा सकते हैं जिनमें दो $A$ एक साथ न आएं?