एक वृत्त पर स्थित $21$ बिंदुओं से होकर कितनी जीवाएँ खींची जा सकती हैं?

दो रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ एक बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $A_1, B_1, C_1$ रेखा $l_1$ पर स्थित बिंदु हैं और $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2$ रेखा $l_2$ पर स्थित बिंदु हैं,और इनमें से कोई भी बिंदु $P$ के साथ संपाती नहीं है,तो इन $8$ बिंदुओं का उपयोग करके कितने त्रिभुज बनाए जा सकते हैं?

मान लीजिए कि एक गोलाकार स्टेडियम की सीमा पर समान ऊंचाई के $20$ खंभे खड़े किए गए हैं। यदि प्रत्येक खंभे के शीर्ष को उसके सभी गैर-आसन्न खंभों के शीर्ष से बीम द्वारा जोड़ा गया है,तो बीम की कुल संख्या है

यदि एक नियमित बहुभुज के विकर्णों की संख्या $35$ है,तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या है

$HOSTEL$ से $ALLEN$ तक के सबसे छोटे रास्तों की संख्या (दी गई आकृति में दिखाए अनुसार) कितनी है?

$m$ पुरुषों और $n$ महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें। यदि $m > n$ है,तो उन्हें बैठाने के तरीकों की संख्या क्या है?