$99$ और $1000$ के बीच कितनी संख्याएँ $2, 3, 7, 0, 8, 6$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकती हैं,यदि प्रत्येक अंक का उपयोग प्रत्येक संख्या में केवल एक बार किया जाए?

मान लीजिए कि $T_n$ उन त्रिभुजों की संख्या को दर्शाता है जिन्हें $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के शीर्षों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। यदि $T_{n + 1} - T_n = 21$ है,तो $n$ का मान क्या है:

$6$ लड़कों और $4$ लड़कियों के समूह में से,चार बच्चों का चयन किया जाना है। उन्हें कितने अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है कि कम से कम एक लड़का शामिल हो?

$15$ लड़कों और $8$ लड़कियों के समूह में से एक लड़की और एक लड़के को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

$7$ पुरुषों और $7$ महिलाओं को एक गोल मेज के चारों ओर कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है ताकि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें?

$AAAABBBC$ के सभी अक्षरों के उन क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें सभी $A$ एक $4$ अक्षरों के ब्लॉक में एक साथ आते हैं या सभी $B$ एक $3$ अक्षरों के ब्लॉक में एक साथ आते हैं।