$DELHI$ शब्द के अक्षरों से कितने शब्द बनाए जा सकते हैं,यदि $L$ प्रत्येक शब्द के बीच में आए?

$1$ और $10^{10}$ के बीच (समावेशी) ऐसे पूर्णांकों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें अंक $1$ आता है:

दस व्यक्ति,जिनमें $A, B$ और $C$ शामिल हैं,को एक समारोह में बोलना है। यदि $A, B$ से पहले बोलना चाहता है और $B, C$ से पहले बोलना चाहता है,तो वे कितने तरीकों से बोल सकते हैं?

$5$ लड़के और $5$ लड़कियाँ एक पंक्ति में कितने तरीकों से खड़े हो सकते हैं ताकि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न हों?

एक शहर में किन्हीं भी दो व्यक्तियों के दांतों का सेट समान नहीं है और ऐसा कोई व्यक्ति नहीं है जिसके एक भी दांत न हो। साथ ही,किसी भी व्यक्ति के $32$ से अधिक दांत नहीं हैं। यदि हम दांतों के आकार और माप को अनदेखा करें और केवल $32$ स्थानों पर दांत की उपस्थिति या अनुपस्थिति पर विचार करें,तो शहर की अधिकतम जनसंख्या क्या है?

पाँच अलग-अलग रंगों की गेंदों को तीन अलग-अलग आकारों के बक्सों में रखा जाना है। प्रत्येक बक्सा पाँचों गेंदों को रख सकता है। हम गेंदों को कितनी तरह से रख सकते हैं कि कोई भी बक्सा खाली न रहे?