$INDEPENDENCE$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं,जिनमें सभी स्वर हमेशा एक साथ आएं?

आकृति के वर्गों में छह '$X$' को इस प्रकार रखा जाना है कि प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक '$X$' हो। इसे कितने अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है?

$6$ पुरुष और $5$ महिलाएँ एक गोल मेज पर भोजन करते हैं,यदि कोई भी दो महिलाएँ एक साथ न बैठें,तो इसे कितने तरीकों से किया जा सकता है?

यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो,तो अंकों $1, 2, 3, 4, 5$ और $8$ से $2$ अंकों की कितनी विषम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

एक परीक्षा हॉल में कुर्सियों की $4$ पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में $8$ कुर्सियाँ एक के पीछे एक हैं। परीक्षा के लिए $2$ कक्षाएं बैठी हैं और प्रत्येक कक्षा में $16$ छात्र हैं। यह वांछित है कि प्रत्येक पंक्ति में सभी छात्र एक ही कक्षा के हों और कोई भी $2$ आसन्न पंक्तियाँ एक ही कक्षा को आवंटित न की जाएं। इन $32$ छात्रों को कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?

$1, 2, 3, 4, 5, 6$ अंकों का उपयोग करके $3$ अंकों की कितनी विषम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो?