'$EQUATOR$' शब्द के अक्षरों का उपयोग करके '$A$' या '$E$' से शुरू होने वाले $4$ अक्षरों के कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

अक्षरों $a, b, c, d, e, f$ से $3$ अक्षरों को एक साथ लेकर,बिना पुनरावृत्ति के और प्रत्येक विन्यास में कम से कम एक स्वर शामिल हो,ऐसे कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं?

एक परीक्षा में $6$ बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। यदि पहले तीन प्रश्नों में से प्रत्येक के $4$ विकल्प हैं और अगले $3$ प्रश्नों में से प्रत्येक के $5$ विकल्प हैं,तो उत्तरों के कितने अनुक्रम संभव हैं?

आठ कुर्सियों को $1$ से $8$ तक क्रमांकित किया गया है। दो महिलाएं और तीन पुरुष प्रत्येक एक कुर्सी पर बैठना चाहते हैं। पहले महिलाएं $1$ से $4$ तक चिह्नित कुर्सियों में से कुर्सियों का चयन करती हैं और फिर पुरुष शेष कुर्सियों में से चयन करते हैं। संभावित व्यवस्थाओं की संख्या है

$^{47}C_4 + \sum_{r=1}^{5} {}^{52-r}C_3 = $

यदि $^8C_r = ^8C_{r+2}$ है,तो $^rC_2$ का मान क्या होगा?