अक्षरों $a, b, c, d, e, f$ से $3$ अक्षरों को एक साथ लेकर,बिना पुनरावृत्ति के और प्रत्येक विन्यास में कम से कम एक स्वर शामिल हो,ऐसे कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं?

एक पार्टी में,$12$ व्यक्तियों को एक गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित किया जाना है। यदि दो विशेष व्यक्ति एक-दूसरे के बगल में नहीं बैठते हैं,तो कुल व्यवस्थाओं की संख्या क्या है?

क्रमित युग्मों $(r, k)$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $6 \cdot ^{35} C_{r} = (k^2 - 3) \cdot ^{36} C_{r+1}$ है,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है:

एक समिति के $5$ पुरुष और $2$ महिला सदस्यों को एक गोल मेज के चारों ओर कितनी तरह से बैठाया जा सकता है ताकि दो महिलाएं एक साथ न बैठें?

$n$ सफेद और $n$ काली गेंदें हैं जिन पर $1, 2, 3, ..., n$ अंकित है। इन गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि पड़ोसी गेंदें अलग-अलग रंगों की हों?

यदि $^{n + 1}{C_3} = 2{\,^n}{C_2}$ है,तो $n =$