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Question

(A) हमें $\int_{0}^{2} f(x) dx$ का मूल्यांकन करना है। चूंकि फलन टुकड़ों में परिभाषित है,हम समाकलन को $x=1$ पर विभाजित करते हैं: $\int_{0}^{2} f(x) dx

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$\frac{55}{42}$

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(A) हमें $\int_{0}^{2} f(x) dx$ का मूल्यांकन करना है। चूंकि फलन टुकड़ों में परिभाषित है,हम समाकलन को $x=1$ पर विभाजित करते हैं: $\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{1} \sqrt{1-x} dx + \int_{1}^{2} (7x-6)^{-1/3} dx$. पहले भाग के लिए,$u = 1-x$ लें,तो $du = -dx$ होगा। जब $x=0, u=1$; और जब $x=1, u=0$: $\int_{0}^{1} (1-x)^{1/2} dx = -\int_{1}^{0} u^{1/2} du = \int_{0}^{1} u^{1/2} du = [\frac{2}{3} u^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$. दूसरे भाग के लिए,$v = 7x-6$ लें,तो $dv = 7 dx$ होगा,इसलिए $dx = \frac{1}{7} dv$। जब $x=1, v=1$; और जब $x=2, v=8$: $\int_{1}^{2} (7x-6)^{-1/3} dx = \frac{1}{7} \int_{1}^{8} v^{-1/3} dv = \frac{1}{7} [\frac{3}{2} v^{2/3}]_{1}^{8} = \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{2} (8^{2/3} - 1^{2/3}) = \frac{3}{14} (4 - 1) = \frac{3}{14} \cdot 3 = \frac{9}{14}$. दोनों भागों को जोड़ने पर: $\frac{2}{3} + \frac{9}{14} = \frac{28 + 27}{42} = \frac{55}{42}$.

यदि $f(x) = \begin{cases} \sqrt{1-x} & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ (7x-6)^{-1/3} & 1 < x \leqslant 2 \end{cases}$ है,तो $\int_{0}^{2} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ और $F(x)=\int_0^x t f(t) d t$ है। यदि $F(x^2)=x^4+x^5$ है,तो $\sum_{r=1}^{12} f(r^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_{0}^{\pi/4} \sqrt{1+\sin 2x} dx = \rule{1cm}{0.15mm}$

निश्चित समाकल $\int\limits_{\infty}^{0} \frac{z e^{-z}}{\sqrt{1-e^{-2z}}} \, dz$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{1}^{3} \left(\frac{x^{2}+1}{4x}\right)^{-1} dx = $ . . . . . . .

निश्चित समाकल $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{cosec} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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