int_{0}^{pi/4} sqrt{1+sin 2x} dx = rule{1cm}{ | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ होता है।इसलिए, $\sqrt{1+\sin 2x} = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \

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$1$

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(B) हम जानते हैं कि $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ होता है।इसलिए, $\sqrt{1+\sin 2x} = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|$।चूंकि $x \in [0, \pi/4]$ है, $\sin x$ और $\cos x$ दोनों गैर-ऋणात्मक हैं, इसलिए $|\sin x + \cos x| = \sin x + \cos x$ होगा।अब, समाकलन $\int_{0}^{\pi/4} (\sin x + \cos x) dx$ बन जाता है।प्रत्येक पद का समाकलन करने पर, हमें $[-\cos x + \sin x]_0^{\pi/4}$ प्राप्त होता है।सीमाओं का मान रखने पर: $(-\cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)) - (-\cos(0) + \sin(0))$।$= (-1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2}) - (-1 + 0) = 0 - (-1) = 1$।

$\int_{0}^{\pi/4} \sqrt{1+\sin 2x} dx = \rule{1cm}{0.15mm}$

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मान लीजिए $f(x) = x - [x],$ प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,जहाँ $[x]$ का $x$ का पूर्णांक भाग है। तो $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx =$

$\int_1^2 \frac{x^4-1}{x^6-1} d x=$

$\int_0^1 x^{5/2} (1-x)^{3/2} \, dx =$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan^n x + \tan^{n-2} x) d(x - [x])$ का मान ज्ञात कीजिए : (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)

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