यदि f''(x)

Question

(B) दिया गया है कि $f''(x) < 0$,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है। माना $H(x) = f(1 - x) + 2f(x/2)$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

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$(2/3, 2)$ में ह्रासमान और $(0, 2/3)$ में वर्धमान है

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(B) दिया गया है कि $f''(x) माना $H(x) = f(1 - x) + 2f(x/2)$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $H'(x) = -f'(1 - x) + f'(x/2)$ प्राप्त होता है। $H(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $H'(x) > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $-f'(1 - x) + f'(x/2) > 0$,या $f'(x/2) > f'(1 - x)$। चूंकि $f'(x)$ एक ह्रासमान फलन है,$f'(a) > f'(b)$ का अर्थ $a इसलिए,$x/2 $x$ के लिए हल करने पर: $x/2 + x अतः,$H(x)$ अंतराल $(0, 2/3)$ में वर्धमान है। इसी प्रकार,$H(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,हमें $H'(x)  1 - x$ की ओर ले जाता है,या $x > 2/3$। अतः,$H(x)$ अंतराल $(2/3, 2)$ में ह्रासमान है।

यदि $f''(x) < 0$ सभी $x \in (0, 2)$ के लिए है,तो फलन $H(x) = f(1 - x) + 2f(x/2)$ है:

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मान लीजिए $f(x) = e^x - e^{-x} + \cos x$,तो $f(x)$ है

फलन $f(x) = e^{-1/x}$ सभी $x$ के लिए निरंतर वर्धमान है जहाँ

फलन $f(x) = 2\ln|x| - x|x|$ किस अंतराल पर वर्धमान (increasing) है?

सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 4x$,$x \in R$ द्वारा प्रदत्त फलन $R$ पर वर्धमान है।

उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें फलन $f(x)=2 x^{2}-3 x$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$
$(a)$ वर्धमान
$(b)$ ह्रासमान
है।

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