यदि [x] महत्तम पूर्णांक leq x है,तो समाकलन in | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-0.9}^{0.9} \left( [x^2] + \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) \right) dx$.हम इसे दो समाकलनों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{

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(D) माना $I = \int_{-0.9}^{0.9} \left( [x^2] + \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) \right) dx$.हम इसे दो समाकलनों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-0.9}^{0.9} [x^2] dx + \int_{-0.9}^{0.9} \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) dx$.प्रथम भाग के लिए,चूंकि $-0.9 दूसरे भाग के लिए,माना $f(x) = \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right)$.तब $f(-x) = \log \left( \frac{2-(-x)}{2+(-x)} \right) = \log \left( \frac{2+x}{2-x} \right) = \log \left( \left( \frac{2-x}{2+x} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) = -f(x)$.चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है और अंतराल $[-0.9, 0.9]$ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है,इसलिए $\int_{-0.9}^{0.9} f(x) dx = 0$.अतः,$I = 0 + 0 = 0$.

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ है,तो समाकलन $\int_{-0.9}^{0.9} \left( [x^2] + \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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