int_0^{2npi } {left( {|sin x| - left| {frac{1 | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = \int_0^{2n\pi } {\left( {|\sin x| - \frac{1}{2}|\sin x|} \right)} \;dx$ है। समाकल्य को सरल करने पर,हमें $I = \int_0^{2n\pi }

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$2n$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समाकलन $I = \int_0^{2n\pi } {\left( {|\sin x| - \frac{1}{2}|\sin x|} ight)} \;dx$ है। समाकल्य को सरल करने पर,हमें $I = \int_0^{2n\pi } {\frac{1}{2}|\sin x|} \;dx$ प्राप्त होता है। चूंकि $|\sin x|$ एक $\pi$ आवर्तकाल वाला फलन है,हम गुणधर्म $\int_0^{nT} f(x) dx = n \int_0^T f(x) dx$ का उपयोग करते हैं। यहाँ $T = \pi$ है,इसलिए $I = \frac{1}{2} 	imes n \int_0^{\pi} |\sin x| \;dx$। $x \in [0, \pi]$ के लिए $\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$ होगा। $I = \frac{n}{2} \int_0^{\pi} \sin x \;dx = \frac{n}{2} [-\cos x]_0^{\pi}$। $I = \frac{n}{2} (-(-1) - (-1)) = \frac{n}{2} (2) = n$ गणना के अनुसार है,लेकिन $\int_0^{2n\pi} |\sin x| dx = 2n \int_0^{\pi} \sin x dx = 2n(2) = 4n$ होता है। अतः $I = \frac{1}{2} (4n) = 2n$। सही उत्तर $2n$ है।

$\int_0^{2n\pi } {\left( {|\sin x| - \left| {\frac{1}{2}\sin x} \right|} \right)} \;dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_0^\pi \frac{x \cos^2 x}{1+\sin x} dx$

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