જો $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ અને $l_{2}, m_{2}, n_{2}$ એ બે પરસ્પર લંબ રેખાઓની દિક્કોસાઇન હોય,તો સાબિત કરો કે આ બંનેને લંબ રેખાની દિક્કોસાઇન $m_{1} n_{2}-m_{2} n_{1}, n_{1} l_{2}-n_{2} l_{1}, l_{1} m_{2}-l_{2} m_{1}$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ અને $l_{2}, m_{2}, n_{2}$ એ બે પરસ્પર લંબ રેખાઓની દિક્કોસાઇન છે. તેથી,
$l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}=0$ ........$(1)$
$l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}=1$ ..........$(2)$
$l_{2}^{2}+m_{2}^{2}+n_{2}^{2}=1$ ...........$(3)$
ધારો કે $l, m, n$ એ રેખાની દિક્કોસાઇન છે જે $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ અને $l_{2}, m_{2}, n_{2}$ દિક્કોસાઇન ધરાવતી રેખાઓને લંબ છે.
$\therefore l l_{1} + m m_{1} + n n_{1} = 0$
$l l_{2} + m m_{2} + n n_{2} = 0$
$\therefore \frac{l}{m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1}} = \frac{m}{n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1}} = \frac{n}{l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1}}$
$\Rightarrow \frac{l^{2}}{(m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2}} = \frac{m^{2}}{(n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2}} = \frac{n^{2}}{(l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2}}$
$= \frac{l^{2} + m^{2} + n^{2}}{(m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2} + (n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2} + (l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2}}$ .........$(4)$
કારણ કે $l, m, n$ એ રેખાની દિક્કોસાઇન છે,$l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$ ........$(5)$
લેગ્રાન્જ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(l_{1}^{2} + m_{1}^{2} + n_{1}^{2})(l_{2}^{2} + m_{2}^{2} + n_{2}^{2}) - (l_{1} l_{2} + m_{1} m_{2} + n_{1} n_{2})^{2} = (m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2} + (n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2} + (l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2}$
$(1), (2),$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$1 \cdot 1 - 0^{2} = (m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2} + (n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2} + (l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2} = 1$ .........$(6)$
$(5)$ અને $(6)$ ને $(4)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{l^{2}}{(m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2}} = \frac{m^{2}}{(n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2}} = \frac{n^{2}}{(l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2}} = 1$
આમ,$l = m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1}, m = n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1}, n = l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1}$.