यदि $R_{1}$ और $R_{2}$ समुच्चय $A$ में तुल्यता संबंध हैं,तो दर्शाइए कि $R_{1} \cap R_{2}$ भी एक तुल्यता संबंध है।
(N/A) चूँकि $R_{1}$ और $R_{2}$ तुल्यता संबंध हैं,इसलिए सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R_{1}$ और $(a, a) \in R_{2}$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R_{1} \cap R_{2}$ है,जो दर्शाता है कि $R_{1} \cap R_{2}$ स्वतुल्य है।
इसके अलावा,यदि $(a, b) \in R_{1} \cap R_{2}$ है,तो $(a, b) \in R_{1}$ और $(a, b) \in R_{2}$ है।
चूँकि $R_{1}$ और $R_{2}$ सममित हैं,इसलिए $(b, a) \in R_{1}$ और $(b, a) \in R_{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $(b, a) \in R_{1} \cap R_{2}$ है। अतः,$R_{1} \cap R_{2}$ सममित है।
अंत में,यदि $(a, b) \in R_{1} \cap R_{2}$ और $(b, c) \in R_{1} \cap R_{2}$ है,तो $(a, b) \in R_{1}, (b, c) \in R_{1}$ और $(a, b) \in R_{2}, (b, c) \in R_{2}$ है।
चूँकि $R_{1}$ और $R_{2}$ संक्रामक हैं,इसलिए $(a, c) \in R_{1}$ और $(a, c) \in R_{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $(a, c) \in R_{1} \cap R_{2}$ है।
यह दर्शाता है कि $R_{1} \cap R_{2}$ संक्रामक है।
चूँकि $R_{1} \cap R_{2}$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
इसका तात्पर्य यह है कि सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R_{1} \cap R_{2}$ है,जो दर्शाता है कि $R_{1} \cap R_{2}$ स्वतुल्य है।
इसके अलावा,यदि $(a, b) \in R_{1} \cap R_{2}$ है,तो $(a, b) \in R_{1}$ और $(a, b) \in R_{2}$ है।
चूँकि $R_{1}$ और $R_{2}$ सममित हैं,इसलिए $(b, a) \in R_{1}$ और $(b, a) \in R_{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $(b, a) \in R_{1} \cap R_{2}$ है। अतः,$R_{1} \cap R_{2}$ सममित है।
अंत में,यदि $(a, b) \in R_{1} \cap R_{2}$ और $(b, c) \in R_{1} \cap R_{2}$ है,तो $(a, b) \in R_{1}, (b, c) \in R_{1}$ और $(a, b) \in R_{2}, (b, c) \in R_{2}$ है।
चूँकि $R_{1}$ और $R_{2}$ संक्रामक हैं,इसलिए $(a, c) \in R_{1}$ और $(a, c) \in R_{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $(a, c) \in R_{1} \cap R_{2}$ है।
यह दर्शाता है कि $R_{1} \cap R_{2}$ संक्रामक है।
चूँकि $R_{1} \cap R_{2}$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
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