જો $^{n}C_{8} = ^{n}C_{2}$ હોય,તો $^{n}C_{2}$ શોધો.

$7$ સમાન સફેદ દડા અને $3$ સમાન કાળા દડા છે. બધા દડાઓને એક હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાની સંખ્યા શોધો કે જેથી કોઈ પણ બે કાળા દડા પાસપાસે ન હોય.

જો ${ }^{n-3} C_r + B \cdot { }^{n-3} C_{r-1} + B^{\prime} \cdot { }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3} = { }^n C_r$ એ તમામ $n \geq r \geq 3$ માટે સાચું હોય,તો $(B, B^{\prime}) = $.

$12$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $5$ વિદ્યાર્થીઓની એક ટીમ પસંદ કરવાની છે. જો તે ટીમમાં બે ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓનો સમાવેશ કરવાનો હોય,તો આવી ટીમ કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય?

જો $1 \times 1! + 2 \times 2! + 3 \times 3! + \ldots + n \times n! = 11! - 1$ હોય,તો ${}^n C_r$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શું છે?

$6$ '$+$' અને $4$ '$*$' ચિહ્નોને એક હરોળમાં એવી રીતે કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી બે '$*$' ચિહ્નો ક્યારેય સાથે ન આવે?