જો $A$ અને $G$ બે ધન સંખ્યાઓ વચ્ચેના અનુક્રમે $A.M.$ અને $G.M.$ હોય,તો સાબિત કરો કે તે સંખ્યાઓ $A \pm \sqrt{(A + G)(A - G)}$ છે.

આપેલ છે કે $A$ અને $G$ બે ધન સંખ્યાઓ વચ્ચેના $A.M.$ અને $G.M.$ છે.
ધારો કે આ બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
$\therefore A.M. = A = \frac{a+b}{2}$ .........$(1)$
$G.M. = G = \sqrt{ab}$ .........$(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$a+b = 2A$ .........$(3)$
$ab = G^2$ .........$(4)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$.
$(3)$ અને $(4)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(a-b)^2 = (2A)^2 - 4G^2 = 4A^2 - 4G^2 = 4(A^2 - G^2)$
$(a-b)^2 = 4(A+G)(A-G)$
$(a-b) = 2\sqrt{(A+G)(A-G)}$ .........$(5)$
$(3)$ અને $(5)$ નો સરવાળો કરતા:
$2a = 2A + 2\sqrt{(A+G)(A-G)} \Rightarrow a = A + \sqrt{(A+G)(A-G)}$
$(3)$ માંથી $(5)$ બાદ કરતા:
$2b = 2A - 2\sqrt{(A+G)(A-G)} \Rightarrow b = A - \sqrt{(A+G)(A-G)}$
આમ,તે બે સંખ્યાઓ $A \pm \sqrt{(A+G)(A-G)}$ છે.