यदि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं और $a^{\frac{1}{x}} = b^{\frac{1}{y}} = c^{\frac{1}{z}} = k$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $x, y, z$ $A.P.$ में हैं।

(N/A) माना $a^{\frac{1}{x}} = b^{\frac{1}{y}} = c^{\frac{1}{z}} = k.$
तब $a = k^{x}, b = k^{y},$ और $c = k^{z}$ $(1).$
चूंकि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^{2} = ac$ $(2).$
$(1)$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(k^{y})^{2} = k^{x} \cdot k^{z}$ प्राप्त होता है।
यह $k^{2y} = k^{x+z}$ में सरल हो जाता है।
घातांकों की तुलना करने पर,$2y = x + z$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2y = x + z,$ अतः $x, y, z$ $A.P.$ में हैं।