यदि $A$ और $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $AB = BA$,तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि $AB^{n} = B^{n}A$। इसके अतिरिक्त,सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए $(AB)^{n} = A^{n}B^{n}$ है।

(N/A) दिया गया है कि $A$ और $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं ताकि $AB = BA$ हो।
भाग $1$: गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करना कि $P(n): AB^{n} = B^{n}A$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
$n = 1$ के लिए,$AB^{1} = B^{1}A$,जो सत्य है क्योंकि $AB = BA$ दिया गया है।
मान लीजिए कि परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है,अर्थात $AB^{k} = B^{k}A$ $(1)$.
$n = k + 1$ के लिए,$AB^{k+1} = (AB^{k})B = (B^{k}A)B = B^{k}(AB) = B^{k}(BA) = (B^{k}B)A = B^{k+1}A$.
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$AB^{n} = B^{n}A$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
भाग $2$: गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करना कि $Q(n): (AB)^{n} = A^{n}B^{n}$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
$n = 1$ के लिए,$(AB)^{1} = A^{1}B^{1} = AB$,जो सत्य है।
मान लीजिए कि परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है,अर्थात $(AB)^{k} = A^{k}B^{k}$ $(2)$.
$n = k + 1$ के लिए,$(AB)^{k+1} = (AB)^{k}(AB) = (A^{k}B^{k})(AB) = A^{k}(B^{k}A)B$.
भाग $1$ के परिणाम का उपयोग करते हुए,$B^{k}A = AB^{k}$,इसलिए $(AB)^{k+1} = A^{k}(AB^{k})B = (A^{k}A)(B^{k}B) = A^{k+1}B^{k+1}$.
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$(AB)^{n} = A^{n}B^{n}$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।