જો $-1 < x < 1$ માટે $x \sqrt{1+y}+y \sqrt{1+x}=0$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)^2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x \sqrt{1+y} + y \sqrt{1+x} = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $x \sqrt{1+y} = -y \sqrt{1+x}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2(1+y) = y^2(1+x)$
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + x^2y = y^2 + xy^2$
ફરીથી ગોઠવતા: $x^2 - y^2 = xy^2 - x^2y$
અવયવ પાડતા: $(x-y)(x+y) = -xy(x-y)$
અહીં $x \neq y$ હોવાથી,આપણે $(x-y)$ વડે ભાગી શકીએ:
$x+y = -xy$
$y + xy = -x$
$y(1+x) = -x$
$y = -\frac{x}{1+x}$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\left[ \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} \right]$
$\frac{dy}{dx} = -\left[ \frac{1+x-x}{(1+x)^2} \right] = -\frac{1}{(1+x)^2}$
આમ,સાબિત થાય છે.