જો $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, 2 \hat{i}+5 \hat{j}, 3 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ અને $\hat{i}-6 \hat{j}-\hat{k}$ એ અનુક્રમે બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો હોય,તો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. સાબિત કરો કે $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ સમરેખ છે.

(D) ધારો કે $\theta$ એ $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ,સદિશોની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} = (2\hat{i} + 5\hat{j}) - (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$
$\overrightarrow{CD} = (\hat{i} - 6\hat{j} - \hat{k}) - (3\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = -2\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}$
માન (magnitudes) ની ગણતરી કરો:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 64 + 4} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
અદિશ ગુણાકાર (dot product) ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(-2) + (4)(-8) + (-1)(2) = -2 - 32 - 2 = -36$
ખૂણા $\cos \theta$ ની ગણતરી કરો:
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|} = \frac{-36}{(3\sqrt{2})(6\sqrt{2})} = \frac{-36}{18 \times 2} = \frac{-36}{36} = -1$
$\cos \theta = -1$ હોવાથી,$\theta = \pi$ મળે છે.
સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\pi$ હોવાથી,સદિશો સમરેખ છે (ખાસ કરીને,તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં છે). વૈકલ્પિક રીતે,$\overrightarrow{CD} = -2(\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}) = -2\overrightarrow{AB}$,જે સાબિત કરે છે કે તેઓ સમરેખ છે.