જો $a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોય; $b, c, d$ એ $G.P.$ માં હોય અને $\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}$ એ $A.P.$ માં હોય,તો સાબિત કરો કે $a, c, e$ એ $G.P.$ માં છે.

ધારો કે $A_1, G_1, H_1$ એ બે ભિન્ન ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ ના અનુક્રમે સમાંતર,સમગુણોત્તર અને હરાત્મક મધ્યક છે. $n \geq 2$ માટે,ધારો કે $A_n, G_n, H_n$ એ $A_{n-1}$ અને $H_{n-1}$ ના અનુક્રમે સમાંતર,સમગુણોત્તર અને હરાત્મક મધ્યક છે.
$1.$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $G_1 > G_2 > G_3 > \ldots$
$(B)$ $G_1 < G_2 < G_3 < \ldots$
$(C)$ $G_1 = G_2 = G_3 = \ldots$
$(D)$ $G_1 < G_3 < G_5 < \ldots$ અને $G_2 > G_4 > G_6 > \ldots$
$2.$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $A_1 > A_2 > A_3 > \ldots$
$(B)$ $A_1 < A_2 < A_3 < \ldots$
$(C)$ $A_1 > A_3 > A_5 > \ldots$ અને $A_2 < A_4 < A_6 < \ldots$
$(D)$ $A_1 < A_3 < A_5 < \ldots$ અને $A_2 > A_4 > A_6 > \ldots$
$3.$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $H_1 > H_2 > H_3 > \ldots$
$(B)$ $H_1 < H_2 < H_3 < \ldots$
$(C)$ $H_1 > H_3 > H_5 > \ldots$ અને $H_2 < H_4 < H_6 < \ldots$
$(D)$ $H_1 < H_3 < H_5 < \ldots$ અને $H_2 > H_4 > H_6 > \ldots$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

જો ત્રણ ભિન્ન સંખ્યાઓ $a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોય અને સમીકરણો $ax^2 + 2bx + c = 0$ અને $dx^2 + 2ex + f = 0$ નું એક સામાન્ય બીજ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

જો $G.M. = 18$ અને $A.M. = 27$ હોય,તો $H.M.$ શું થાય?

જો $A$ અને $G$ બે ધન સંખ્યાઓ વચ્ચેના અનુક્રમે $A.M.$ અને $G.M.$ હોય,તો સાબિત કરો કે તે સંખ્યાઓ $A \pm \sqrt{(A + G)(A - G)}$ છે.

જો $a, b, c$ ત્રણ ભિન્ન સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને $b - a, c - b, a$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય,તો $a : b : c = .....$