यदि alpha समीकरण p(x) = x^{2} - x - 2 = 0 का | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $p(x) = x^{2} - x - 2 = 0$ है। द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 2)(x + 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः मूल $x = 2$ और $x = -1$

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$\frac{3}{\sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण $p(x) = x^{2} - x - 2 = 0$ है। द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 2)(x + 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः मूल $x = 2$ और $x = -1$ हैं। चूंकि $\alpha$ धनात्मक मूल है,इसलिए $\alpha = 2$। सीमा व्यंजक में $\alpha = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,$\lim_{x ightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{1 - \cos(x^{2} - x - 2)}}{x + 2 - 4} = \lim_{x ightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{1 - \cos(x^{2} - x - 2)}}{x - 2}$ प्राप्त होता है। सर्वसमिका $1 - \cos(	heta) = 2 \sin^{2}(\frac{	heta}{2})$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\lim_{x ightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{2 \sin^{2}(\frac{x^{2} - x - 2}{2})}}{x - 2}$ हो जाता है। चूंकि $x ightarrow 2^{+}$,$\sin(\frac{x^{2} - x - 2}{2})$ धनात्मक है,इसलिए $\sqrt{\sin^{2}(	heta)} = \sin(	heta)$। यह सरल होकर $\lim_{x ightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{2} \sin(\frac{(x - 2)(x + 1)}{2})}{x - 2}$ हो जाता है। सीमा $\lim_{u ightarrow 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,$\frac{x + 1}{2}$ से गुणा और भाग करने पर: $\lim_{x ightarrow 2^{+}} \sqrt{2} \cdot \frac{\sin(\frac{(x - 2)(x + 1)}{2})}{\frac{(x - 2)(x + 1)}{2}} \cdot \frac{x + 1}{2} = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{2 + 1}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$।

यदि $\alpha$ समीकरण $p(x) = x^{2} - x - 2 = 0$ का धनात्मक मूल है,तो $\lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} \frac{\sqrt{1 - \cos(p(x))}}{x + \alpha - 4}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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