यदि sin A, sin B, cos A गुणोत्तर श्रेणी (G.P. | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\sin A, \sin B, \cos A$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $\sin^2 B = \sin A \cos A$ होगा।दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2 \sin^

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वास्तविक

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(A) दिया गया है कि $\sin A, \sin B, \cos A$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $\sin^2 B = \sin A \cos A$ होगा।दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2 \sin^2 B = 2 \sin A \cos A$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1 - \cos 2B = \sin 2A$।अतः,$\cos 2B = 1 - \sin 2A$। चूंकि $\sin 2A$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $1 - \sin 2A \ge 0$,जिससे $\cos 2B \ge 0$ प्राप्त होता है।द्विघात समीकरण ${x^2} + 2x \cot B + 1 = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (2 \cot B)^2 - 4(1)(1) = 4 \cot^2 B - 4 = 4(\cot^2 B - 1)$ है।सर्वसमिका $\cot^2 B - 1 = \frac{\cos^2 B - \sin^2 B}{\sin^2 B} = \frac{\cos 2B}{\sin^2 B}$ का उपयोग करने पर,$D = 4 \frac{\cos 2B}{\sin^2 B}$ प्राप्त होता है।चूंकि $\cos 2B \ge 0$ और $\sin^2 B > 0$ है,इसलिए $D \ge 0$ होगा।अतः,द्विघात समीकरण के मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

यदि $\sin A, \sin B, \cos A$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं,तो ${x^2} + 2x \cot B + 1 = 0$ के मूल हमेशा कैसे होंगे?

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