यदि a, b, c, d हरात्मक श्रेणी (H.P.) में हैं, | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।चूंकि $a, b, c$ $H.P.$ में हैं,इसलिए $b$,$a$ और $c$ के बीच का हरात्मक माध्य $(H.M.)$ ह

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$(a)$ और $(b)$ दोनों

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।चूंकि $a, b, c$ $H.P.$ में हैं,इसलिए $b$,$a$ और $c$ के बीच का हरात्मक माध्य $(H.M.)$ है। हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो धनात्मक संख्याओं के लिए,$A.M. > G.M. > H.M.$$a$ और $c$ के लिए,$A.M. = \frac{a+c}{2}$,$G.M. = \sqrt{ac}$,और $H.M. = b$ है।चूंकि $A.M. > H.M.$,इसलिए $\frac{a+c}{2} > b \Rightarrow a + c > 2b$ .... $(i)$चूंकि $G.M. > H.M.$,इसलिए $\sqrt{ac} > b \Rightarrow ac > b^2$ .... $(ii)$इसी प्रकार,$b, c, d$ के $H.P.$ में होने के कारण,$c$,$b$ और $d$ के बीच का $H.M.$ है।अतः,$A.M. > H.M. \Rightarrow \frac{b+d}{2} > c \Rightarrow b + d > 2c$ .... $(iii)$और $G.M. > H.M. \Rightarrow \sqrt{bd} > c \Rightarrow bd > c^2$ .... $(iv)$$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है $(a + c) + (b + d) > 2b + 2c \Rightarrow a + d > b + c$.$(ii)$ और $(iv)$ का गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $(ac)(bd) > (b^2)(c^2) \Rightarrow abcd > b^2c^2 \Rightarrow ad > bc$.अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो

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