यदि sin theta + cos theta = x है,तो {sin ^6}t | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $\sin 	heta + \cos 	heta = x.$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin^2 	heta + \cos^2 	heta + 2 \sin 	heta \cos

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${x^2} \le 2$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $\sin 	heta + \cos 	heta = x.$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin^2 	heta + \cos^2 	heta + 2 \sin 	heta \cos 	heta = x^2.$चूंकि $\sin^2 	heta + \cos^2 	heta = 1,$ इसलिए $1 + \sin 2	heta = x^2,$ जिसका अर्थ है $\sin 2	heta = x^2 - 1.$चूंकि $\sin 2	heta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $-1 \le x^2 - 1 \le 1$ होना चाहिए,जो $0 \le x^2 \le 2$ में सरल हो जाता है.अब,व्यंजक ${\sin ^6}	heta + {\cos ^6}	heta$ पर विचार करें.सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \sin^2 	heta$ और $b = \cos^2 	heta,$${\sin ^6}	heta + {\cos ^6}	heta = (\sin^2 	heta + \cos^2 	heta)^3 - 3 \sin^2 	heta \cos^2 	heta (\sin^2 	heta + \cos^2 	heta).$$= 1^3 - 3(\sin 	heta \cos 	heta)^2 (1) = 1 - 3(\frac{\sin 2	heta}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2	heta.$$\sin 2	heta = x^2 - 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$= 1 - \frac{3}{4}(x^2 - 1)^2 = \frac{1}{4}[4 - 3(x^2 - 1)^2].$यह सर्वसमिका केवल तभी सत्य है जब $\sin 2	heta$ परिभाषित हो,जिसके लिए $x^2 \le 2$ होना आवश्यक है।

यदि $\sin \theta + \cos \theta = x$ है,तो ${\sin ^6}\theta + {\cos ^6}\theta = \frac{1}{4}[4 - 3{({x^2} - 1)^2}]$ के लिए

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$\frac{\sin 3\theta + \sin 5\theta + \sin 7\theta + \sin 9\theta}{\cos 3\theta + \cos 5\theta + \cos 7\theta + \cos 9\theta} = $

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