જો $\angle B$ અને $\angle Q$ લઘુકોણ હોય કે જેથી $\sin B = \sin Q$ થાય,તો સાબિત કરો કે $\angle B = \angle Q$.

(N/A) ધારો કે બે કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ અને $PQR$ છે જેમાં $\angle C = 90^{\circ}$ અને $\angle R = 90^{\circ}$ છે,જ્યાં $\sin B = \sin Q$ છે.
આપણી પાસે $\sin B = \frac{AC}{AB}$ અને $\sin Q = \frac{PR}{PQ}$ છે.
આપેલ છે કે $\sin B = \sin Q$,તેથી $\frac{AC}{AB} = \frac{PR}{PQ}$.
આને $\frac{AC}{PR} = \frac{AB}{PQ} = k$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે) તરીકે ફરીથી લખી શકાય .......... $(1)$.
હવે,બંને ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$ અને $QR = \sqrt{PQ^2 - PR^2}$.
ત્રીજી બાજુઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{BC}{QR} = \frac{\sqrt{AB^2 - AC^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}}$.
$(1)$ પરથી $AB = kPQ$ અને $AC = kPR$ મૂકતા:
$\frac{BC}{QR} = \frac{\sqrt{(kPQ)^2 - (kPR)^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = \frac{\sqrt{k^2(PQ^2 - PR^2)}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = \frac{k \sqrt{PQ^2 - PR^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = k$ .......... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણી પાસે $\frac{AC}{PR} = \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = k$ છે.
$SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ACB \sim \Delta PRQ$.
ત્રિકોણ સમરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે. તેથી,$\angle B = \angle Q$.