यदि $\angle B$ और $\angle Q$ न्यून कोण हैं जहाँ $\sin B = \sin Q$,तो सिद्ध कीजिए कि $\angle B = \angle Q$.

(N/A) मान लीजिए कि दो समकोण त्रिभुज $ABC$ और $PQR$ हैं जहाँ $\angle C = 90^{\circ}$ और $\angle R = 90^{\circ}$ है,और $\sin B = \sin Q$ है।
हमारे पास $\sin B = \frac{AC}{AB}$ और $\sin Q = \frac{PR}{PQ}$ है।
चूँकि $\sin B = \sin Q$ दिया गया है,इसलिए $\frac{AC}{AB} = \frac{PR}{PQ}$।
इसे $\frac{AC}{PR} = \frac{AB}{PQ} = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है) के रूप में लिखा जा सकता है .......... $(1)$।
अब,दोनों त्रिभुजों में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$ और $QR = \sqrt{PQ^2 - PR^2}$।
तीसरी भुजाओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{BC}{QR} = \frac{\sqrt{AB^2 - AC^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}}$।
$(1)$ से $AB = kPQ$ और $AC = kPR$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{BC}{QR} = \frac{\sqrt{(kPQ)^2 - (kPR)^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = \frac{\sqrt{k^2(PQ^2 - PR^2)}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = \frac{k \sqrt{PQ^2 - PR^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = k$ .......... $(2)$।
$(1)$ और $(2)$ से,हमारे पास $\frac{AC}{PR} = \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = k$ है।
$SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ACB \sim \Delta PRQ$ है।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होते हैं। अतः,$\angle B = \angle Q$।