જો $AD$ અને $PM$ એ અનુક્રમે ત્રિકોણ $ABC$ અને $PQR$ ની મધ્યગાઓ હોય,જ્યાં $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}.$

(N/A) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR.$
આપણે જાણીએ છીએ કે સમરૂપ ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય છે.
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{BC}{QR} \dots(1)$
વળી,$\angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R \dots(2)$
$AD$ અને $PM$ મધ્યગાઓ હોવાથી,તેઓ સામેની બાજુઓને બે સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
$BD = \frac{BC}{2}$ અને $QM = \frac{QR}{2} \dots(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC/2}{QR/2} = \frac{BD}{QM} \dots(4)$
$\Delta ABD$ અને $\Delta PQM$ માં,
$\angle B = \angle Q$ [સમીકરણ $(2)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}$ [સમીકરણ $(4)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$\therefore \Delta ABD \sim \Delta PQM$ ($SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ)
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$