यदि $P(at^{2}, 2at)$,$Q(\frac{a}{t^{2}}, \frac{-2a}{t})$ और $S(a, 0)$ तीन बिंदु हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ}$ का मान $t$ से स्वतंत्र है।

(N/A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ है।
सबसे पहले,$SP$ की गणना करें:
$SP = \sqrt{(a - at^2)^2 + (0 - 2at)^2} = \sqrt{a^2(1-t^2)^2 + 4a^2t^2} = |a|\sqrt{1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2} = |a|\sqrt{(1+t^2)^2} = |a|(1+t^2)$.
इसके बाद,$SQ$ की गणना करें:
$SQ = \sqrt{(a - \frac{a}{t^2})^2 + (0 - (-\frac{2a}{t}))^2} = \sqrt{a^2(1 - \frac{1}{t^2})^2 + \frac{4a^2}{t^2}} = |a|\sqrt{1 - \frac{2}{t^2} + \frac{1}{t^4} + \frac{4}{t^2}} = |a|\sqrt{1 + \frac{2}{t^2} + \frac{1}{t^4}} = |a|\sqrt{(1 + \frac{1}{t^2})^2} = |a|(1 + \frac{1}{t^2}) = |a|(\frac{t^2+1}{t^2})$.
अब,$\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ}$ का मान ज्ञात करें:
$\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ} = \frac{1}{|a|(1+t^2)} + \frac{1}{|a|(\frac{t^2+1}{t^2})} = \frac{1}{|a|(1+t^2)} + \frac{t^2}{|a|(1+t^2)} = \frac{1+t^2}{|a|(1+t^2)} = \frac{1}{|a|}$.
चूंकि परिणाम $\frac{1}{|a|}$ में $t$ शामिल नहीं है,इसलिए $\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ}$ का मान $t$ से स्वतंत्र है।