सिद्ध कीजिए कि $A (1, 7)$,$B (2, 4)$ और $C (5, 5)$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि बिंदु $A(1, 7)$,$B(2, 4)$ और $C(5, 5)$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाते हैं,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$1$. $AB$ की लंबाई: $AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
$2$. $BC$ की लंबाई: $BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$3$. $AC$ की लंबाई: $AC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (5 - 7)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.
चूंकि $AB = BC = \sqrt{10}$,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।
अब,पाइथागोरस प्रमेय $(AB^2 + BC^2 = AC^2)$ का उपयोग करके समकोण त्रिभुज की स्थिति की जाँच करें:
$AB^2 + BC^2 = 10 + 10 = 20$.
$AC^2 = 20$.
चूंकि $AB^2 + BC^2 = AC^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
अतः,$A, B$ और $C$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।