यदि 0

Question

(A) माना $S = \frac{3}{2} x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + \frac{7}{4} x^{4} + \ldots \infty$सामान्य पद को $\frac{2n+1}{n+1} x^{n+1} = (2 - \frac{1}{n+1})

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$x \left( \frac{1+x}{1-x} \right) - \log_{e}(1-x)$

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(A) माना $S = \frac{3}{2} x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + \frac{7}{4} x^{4} + \ldots \infty$सामान्य पद को $\frac{2n+1}{n+1} x^{n+1} = (2 - \frac{1}{n+1}) x^{n+1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।अतः,$S = 2 \sum_{n=1}^{\infty} x^{n+1} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$.गुणोत्तर श्रेणी और लघुगणक श्रेणी का उपयोग करने पर,$S = 2 \left( \frac{x^{2}}{1-x} \right) - (-\log_{e}(1-x) - x)$.$S = \frac{2x^{2} + x - x^{2}}{1-x} - \log_{e}(1-x) = x \left( \frac{1+x}{1-x} \right) - \log_{e}(1-x)$.

यदि $0 < x < 1$ है,तो $\frac{3}{2} x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + \frac{7}{4} x^{4} + \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{16} + \dots \infty = $

$\frac{1}{n^2} + \frac{1}{2n^4} + \frac{1}{3n^6} + \dots \infty = $

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