यदि x phi(x) = int_{5}^{x} (3t^{2} - 2 phi'(t | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $x \phi(x) = \int_{5}^{x} (3t^{2} - 2 \phi'(t)) dt$. लेबनिज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\fr

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$4$

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(A) दिया गया समीकरण: $x \phi(x) = \int_{5}^{x} (3t^{2} - 2 \phi'(t)) dt$. लेबनिज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} [x \phi(x)] = 3x^{2} - 2 \phi'(x)$. बाईं ओर गुणन नियम का उपयोग करने पर: $\phi(x) + x \phi'(x) = 3x^{2} - 2 \phi'(x)$. $\phi'(x)$ वाले पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x + 2) \phi'(x) = 3x^{2} - \phi(x)$. यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\phi'(x) + \frac{1}{x+2} \phi(x) = \frac{3x^{2}}{x+2}$. समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{1}{x+2} dx} = e^{\ln(x+2)} = x+2$. $I.F.$ से गुणा करने पर: $(x+2) \phi'(x) + \phi(x) = 3x^{2}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $(x+2) \phi(x) = \int 3x^{2} dx = x^{3} + C$. दिया गया है $\phi(0) = 4$: $(0+2) \phi(0) = 0^{3} + C \Rightarrow 2(4) = C \Rightarrow C = 8$. अतः,$(x+2) \phi(x) = x^{3} + 8$. $\phi(x) = \frac{x^{3} + 8}{x+2} = \frac{(x+2)(x^{2} - 2x + 4)}{x+2} = x^{2} - 2x + 4$. $x = 2$ के लिए: $\phi(2) = 2^{2} - 2(2) + 4 = 4 - 4 + 4 = 4$.

यदि $x \phi(x) = \int_{5}^{x} (3t^{2} - 2 \phi'(t)) dt$,$x > -2$,और $\phi(0) = 4$ है,तो $\phi(2)$ का मान .... है।

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