यदि $\int_{0}^{\pi} (\sin^{3} x) e^{-\sin^{2} x} dx = \alpha - \frac{\beta}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} dt$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान $....$ है।

सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$ का मान क्या है?

यदि $\int_0^{2 \pi}\left(\sin ^4 x+\cos ^4 x\right) d x=K \int_0^\pi \sin ^2 x d x+L \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x$ और $K, L \in N$ है,तो संभावित क्रमित युग्मों $(K, L)$ की संख्या क्या है?

मान लीजिए $r_k = \frac{\int_0^1 (1-x^7)^k dx}{\int_0^1 (1-x^7)^{k+1} dx}$,$k \in N$. तो $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{7(r_k-1)}$ का मान ........... है।

यदि ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ है,तो (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है और $n \in N$):

मान लीजिए $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$,जहाँ $n$ एक अऋण पूर्णांक है। तो,$I_{2011} + 2011 I_{2010}$ का मान ज्ञात कीजिए।