मान लीजिए I_n = int_0^1 (log x)^n dx,जहाँ n ए | vedclass

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Question

(C) हमें दिया गया है $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$.मान लीजिए $\log x = -t$,तो $x = e^{-t}$ और $dx = -e^{-t} dt$.जब $x = 0, t 	o \infty$ और जब $x = 1

Vedclass · Accepted Answer

$I_{100} + 100 I_{99}$

Vedclass · Answer

(C) हमें दिया गया है $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$.मान लीजिए $\log x = -t$,तो $x = e^{-t}$ और $dx = -e^{-t} dt$.जब $x = 0, t 	o \infty$ और जब $x = 1, t = 0$.अतः,$I_n = \int_{\infty}^0 (-t)^n (-e^{-t}) dt = (-1)^n \int_0^{\infty} t^n e^{-t} dt = (-1)^n \Gamma(n+1) = (-1)^n n!$.वैकल्पिक रूप से,$I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:$I_n = [x(\log x)^n]_0^1 - \int_0^1 x \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx = 0 - n \int_0^1 (\log x)^{n-1} dx = -n I_{n-1}$.इस प्रकार,$I_n + n I_{n-1} = 0$.$n = 2011$ के लिए,हमें प्राप्त होता है $I_{2011} + 2011 I_{2010} = 0$.विकल्पों की जाँच करने पर,$I_{100} + 100 I_{99} = 0$ भी सत्य है।अतः,$I_{2011} + 2011 I_{2010} = I_{100} + 100 I_{99} = 0$।

मान लीजिए $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$,जहाँ $n$ एक अऋण पूर्णांक है। तो,$I_{2011} + 2011 I_{2010}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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